奇异值分解SVD的理解与应用

为更好的理解这篇文章，现在这里列出几个文中出现的概念，想要更深的理解这些概念，可以看我的另一篇文章：关于特征值的理解。

向量的内积：两向量a=[a1,a2,…,an]和b=[b1,b2,…,bn],其内积为 a?b=a1b1+a2b2+……+anbn。

特征值与特征向量：对一个m×m矩阵A和向量x，如果存在λ使得下式成立，Ax＝λx，则称λ为矩阵A的特征值，x称为矩阵的特征向量。

对角矩阵：对角矩阵是除对角线外所有元素都为零的方阵。

正交矩阵：正交是一个方块矩阵V，行与列皆为正交的单位向量，即Vn×nVTn×n＝In，使得该矩阵的转置矩阵为其逆矩阵，VT＝V?1。

直接进入正题，矩阵当中有一个非常著名的理论，即：

一个n×n的对称矩阵A可以分解为：A=VDVT。其中，V是一个n×n正交矩阵，并且列向量是矩阵A的特征向量；D是一个n×n对角矩阵，并且对角线上的值为对应特征向量的特征值。

上面的理论是针对一个n×n的对称矩阵，那么对于任意的一个m×n的矩阵A，有没有类似的表达方法呢。答案是肯定的，svd正是用来解决这个问题的。

对任意一个m×n的矩阵A，可以将其分解为：A＝USVT。其中U是一个m×m的正交矩阵；S是一个m×n的矩阵，其主对角元素≥0，非主对角元素均为0；V是一个n×n的正交矩阵。

关于svd的证明过程，似乎更多是数值上的工作，本文想给出更多intuitive上的理解。想要了解证明的可以参考这篇论文：Kalman D. A singularly valuable decomposition: the SVD of a matrix。

这样，对任意一个矩阵，我都可以分解成三个矩阵的内积。让我们看一下它有什么神奇的性质。

AAT＝USVTVSTUT＝USSTUT＝UDUT(1)
由于V是一个正交矩阵，VT＝V?1，所以VT＊V＝I。S只有主对角元素不为0，那么SST的结果为一个m×m的对角矩阵D。而虽然A是任意的一个m×n的矩阵，但AAT是一个m×m的对称矩阵。这样一看，AAT=UDUT是不是和前面那个理论非常相似。那么U的列向量应该是对称矩阵AAT的特征向量，D应该是一个对角矩阵，且对角线上值是对称矩阵AAT的特征值。ATA＝VSTUTUSVT＝VSTSVT＝VWVT(2)
同样，V的列向量则是对称矩阵ATA的特征向量,而W则是一个n×n的对角矩阵。这里W和D实际上是相同的，只是对角线上后面的0的数量不一样。

可以看出，矩阵S主对角线上的值，实际上是对称矩阵AAT或ATA特征值的平方根。

所以，实际上svd是一个矩阵分解方法，对于任意一个m×n的矩阵A，svd都可以将其分解成为A＝USVT。其中矩阵U的列向量是对称矩阵AAT的特征向量，称作左奇异矩阵；矩阵V的的列向量是对称矩阵ATA的特征向量；S是一个m×n的矩阵，主对角线上的值是对称矩阵AAT或ATA特征值的平方根，称作奇异值，且非对角线上的值为0.

不知道写到这里，大家是不是对svd有了一个比较具体的印象。然而，上面只是从数学上解释了svd的构成，我们好奇的是，从很多地方，我们都听到了svd，即使如上面所述，它长的是这个样子，但是我们它到底可以用来做什么事情呢？

下面我们举几个svd的实际应用，加深我们对它的理解。

1）有损的数据压缩
假设我们有一个m×n的矩阵A，它表示一组数据